Para simplificar o cálculo das derivadas, vale observar que
. Assim, a função é dada por
Usando agora a regra da cadeia, segue-se que
Agora, basta usar a regra do quociente para
obter que
Observe que o sinal negativo aparece duas vezes
na expressão da derivada segunda em relação a x, e apenas uma vez na expressão
da derivada segunda com respeito a y. A partir dessa observação é claro que
a função satisfaz à equação de Laplace, isto é, que