a) Pela Regra da Cadeia, tem-se que
,
e basta agora calcular cada um desses termos
separadamente. Para isso, observe que
e
e portanto
=
e
=
Além disso, as derivadas parciais de x(
u , v
) e y( u ,
v ) são dadas
por
e
Substituindo esses valores na Regra da Cadeia,
obtém-se que
De maneira inteiramente análoga, calcula-se
a derivada
Outra forma é expressar diretamente a função Z em termos de
u
e
v
. Substituindo as expressões de x = x(
u
,
v
) e y = y(
u
,
v
) na expressão de z = z(x, y), obtém-se que
,
e basta agora calcular as derivadas parciais
dessa função. É claro que as expressões dessas derivadas são as mesmas obtidas
anteriormente.
b) Calculando as derivadas acima no ponto (
u
,
v
) = (2,
) obtém-se que
e
, onde x =
e y =
. Considere ainda a função composta
Z =
.
e
como funções de
u
e
v
usando a Regra da Cadeia e também expressando Z diretamente em termos de
u
e
v
antes de diferenciar.
e
no ponto (
u
,
v
) = (2,
).
