S é a superfície de nível, no nível k = 18, da função

Assim, como no caso bidimensional, o vetor gradiente grad f(x, y, z) é ortogonal a S no ponto (x, y, z). Em particular, grad f( ) é um vetor ortogonal a S no ponto . Calculando, obtém-se que grad f(x, y, z) = (2x, 2y, -2z), e portanto grad f( ) = (6, 10, 8). Dessas observações segue-se que:

a) o plano tangente a S no ponto é aquele que passa por esse ponto e é ortogonal a grad f( ). Logo, para um ponto genérico P = (x, y, z), esse plano tem equação < grad f( ), P - > = 0. Substituindo os valores, obtém-se que a equação do plano é

b) a reta normal a S em é aquela que passa por esse ponto e tem a mesma direção de grad f(). Logo, essa reta tem equação P(t) = + t grad f( ). Substituindo os valores, obtém-se que a equação da reta é

A figura abaixo ilustra a superfície S juntamente com o ponto , o plano tangente e a reta normal.