O domínio e o gráfico da função estão ilustrados na figura abaixo. O contorno do triângulo, que é o bordo do domínio, está ilustrado em preto, equanto que os correspondentes valores da função estão ilustrados em vermelho.

Do gráfico, percebe-se que o máximo absoluto é assumido no ponto (0, 0), onde f(0, 0) = 1, e o mínimo absoluto é assumido no ponto (1, 2), onde f(1, 2) = -5. Esse resultado pode ser obtido mesmo sem o gráfico da função, como está feito a seguir.

Pontos críticos interiores

O primeiro passo é obter os pontos críticos interiores a D, isto é, as soluções do sistema

que são interiores ao domínio da função. Calculando, o sitema acima é dado por

cuja única solução é o ponto (1, 2). Como esse ponto é de fronteira (ver figura acima), segue-se que a função não possui pontos críticos interiores.

Valores extremos sobre o bordo

O segundo passo é obter os valores máximo e mínimo da função sobre o bordo do domínio. Parte desse bordo é o segmento de reta entre os pontos (0, 0) e (0, 2). Ao longo desse segmento os correspondentes valores da função são dados por

com y no intervalo [0, 2]. Observe que o polinômio tem derivada negativa no intervalo (0, 2), e portanto o seu máximo é assumino no ponto y = 0 e o seu mínimo no ponto y = 2. Assim, ao longo desse segmento, o valor máximo da função é assumino no ponto (0, 0), onde f(0, 0) = 1, e o valor mínimo é assumindo no ponto (0, 2), onde f(0, 2) = -3.

Outra parte do bordo é o segmento de reta entre os pontos (0, 2) e (1, 2), nos quais a função assume os valores

com x no intervalo [0, 1]. De forma análoga ao que se fez anteeriormente, obtém-se que, ao longo desse segmento, o valor máximo da função é assumino no ponto (0, 2), onde f(0, 2) = -3, e o valor mínimo é assumino no ponto (1, 2), onde f(1, 2) = -5.

A terceira e última parte do domínio é o segmento de reta entre os pontos (0, 0) e (1, 2). Novamente, de forma análoga ao que já se fez, obtém-se que, ao longo desse segmento, o valor máximo da função é assumino no ponto (0, 0), onde f(0, 0) = 1, e o valor mínimo é assumino no ponto (1, 2), onde f(1, 2) = -5.

Comparando os resultados sobre os três segmentos, obtém-se que, sobre o bordo do domínio, o máximo absoluto da função é assumino no ponto (0, 0), onde f(0, 0) = 1, e o mínimo absoluto é assumino no ponto (1, 2), onde f(1, 2) = -5.

Conclusão

O terceito e último passo é a comparação entres os valores obtidos nos primeiro e segundo passos. Como não existem pontos críticos interiores, prevalece o que foi obtido no segundo passo, isto é, o máximo da função é o valor f(0, 0) = 1 e o mínimo da função é o valor f(1, 2) = -5.