a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas dT/dt e d²T/dt².

A temperatura dos pontos da circunferência é dada pela função T(x(t), y(t)) que, pela regra da cadeia, tem derivada

Substituindo x = x(t) e y = y(t) nas expressões das derivadas parciais de T e usando que e , obtém-se que

Assim, os pontos críticos dessa função são aqueles para os quais . Esta igualdade é equivalente a , cujas soluções no intervalo são , , e .

Para determinar, entre esses pontos críticos, quais são de máximo ou de mínimo local, deve-se calcular a derivada segunda da função T(x(t), y(t)). Usando a expressão e as derivadas de x(t) e y(t), obtém-se que

Observe agora que d²T/dt² é positiva nos pontos e (quadrantes 1 e 3), e portanto esses são pontos de mínimo local. Nos outros dois pontos (quadrantes 2 e 4) a derivada segunda é negativa, e portanto esses pontos são de máximo local.

b) Suponha que T=4x²-4xy+4y². Encontre os valores máximo e mínimo de T na circunferência

Observe que o gradiente da função T=4x²-4xy+4y² é o mesmo do item a), e portanto já se sabe os pontos de máximo e mínimo. Basta então calcular os valores de T nesses pontos. Calculando, obtém-se que o valor mínimo é dado por

enquanto que o valor máximo é dado por

Esses resultados podem ser visualizados por meio da figura a seguir, que ilustra o gráfico da função temperatura juntamente com sua restrição (em vermelho) à circunferência de raio um (em preto).