Indicando por o vetor gradiente da função no ponto , e por uma direção genérica com , a derivada direcional de f(x, y) no ponto P e na direção v é dada pelo produto escalar

Com essa notação, o exercício consiste em determinar as direções v para as quais , isto é, para as quais . Ora, essa direções são aquelas que são ortogonais ao vetor ! Calculando, obtém-se que e . Em particular, no ponto P = (3, 2), tem-se e , e portanto

Segue-se que os vetores que são ortogonais ao gradiente são os múltiplos do vetor (-7, 2), isto é, são da forma k*(-7, 2). Normalizando, obtemos dois vetores unitários que são solução do problema, a saber

Esse resultado pode ser ilustrado por meio do gráfico a seguir, que ilustra o gradiente da função a partir do ponto P = (3, 2) juntamente com a direção que lhe é orgotonal (em vermelho), ambos no plano Oxy. Ilustra ainda o gráfico da função e o caminho sobre o gráfico correspondente à direção de derivada zero, ambos em azul. Finalmente, a figura ilustra (em vermelho) a reta de inclinhação zero que é tangente ao caminho sobre o gráfico.