Para obter o máximo e o mínimo absoluto da função, é necessário dividir o argumento em dois passos, analizando primeiro a função no bordo de seu dominio e, em seguida, analizando a função no interior de seu domínio.

Para o primeiro passo, vale ilustrar os três segmentos que compõem a fronteira do domínio, indicados na figura abaixo por L1, L2 e L3.

Ao longo de L2, por exemplo, em que x = 0, os valores da função são dados por f(0, y) = 2 y + 1, e é claro que o valor mínimo é f(0, 0) = 1 e o valor máximo é f(0, 1) = 3. Procedendo de maneira análoga em L1 e L3, obtém-se que, sobre o bordo do domínio, o valor mínimo é f(0, 0) = 1 e o valor máximo é f(1, 0) = 5.

O segundo passo, da análise da função no interior de seu domínio, é feita por meio dos pontos críticos da função, que são os pontos em que ambas as derivadas parciais se anulam. Calculando, obtém-se que e . Assim, os pontos críticos são as soluções do sitema

Segue-se que a função possui um único ponto crítico interior, que é o ponto (1/4, 1/2), onde f(1/4, 1/2) = 2.

Considerando os dois passos simultaneamente, segue-se que o mínimo absoluto da função é o menor dos valores f(0, 0) = 1 e f(1/4, 1/2) = 2, isto é, é o valor f(0, 0) =1. Analogamente, obtém-se que o máximo absoluto da função é o valor f(1, 0) = 5.

Esses valores podem ser verificados por meio do gráfico da função, ilustrado na figura a seguir. Do gráfico percebe-se que o ponto crítico interior é um ponto de sela da função.