(a) Como a partícula está se movendo ao redor da circunfêrencia no sentido horário, a direção e sentido do movimento no ponto P é dado pelo vetor unitário (rotação de P de radianos no sentido horário; ver figura abaixo).

Além disso, a velocidade da variação de temperatura, em graus Celsius por metro, é dada pela derivada direcional de T( x, y ) no ponto P e na diração de v .

Indicando por o vetor gradiente, a derivada direcional de T( x, y ) no ponto P e na direção v é dada pelo produto escalar

Calculando, obtém-se que e . Em particular, no ponto P , tem-se e , e portanto

Fazendo o produto escalar com o vetor v obtém-se que

(b) Em relação à velocidade da variação de temperatura em graus Celsius por segundo, basta notar que, se em 1 metro a partícula tem a variação de temperatura encontrada no item anterior, e se ela percorre 2 metros em 1 segundo, então a variação da temperatura por segundo é o dobro da variação por metro. Basta então multiplicar por 2 o resultado acima.

A figura abaixo ilustra a trajetória da partícula juntamente com o vetor v e o gradiente da temperatura no ponto P .