As derivadas parciais da função são iguais a

e um primeiro passo é determinar os pontos críticos interiores, isto é, os pontos ( x, y ) do domínio aberto (0, 5)x(-3, 0) que são soluções do sitema

Resolvendo, obtém-se que a função possui um único ponto crítico interior, que é o ponto P0 = (4, -2). Além disso, o valor da função nesse ponto é igual a

A figura abaixo ilustra o ponto P0 no interior do domínio. Ilustra também a fronteira do domínio, que é a união dos quatro segmentos L1, L2, L3 e L4.

Ao longo do segmento L1 a função é dada por

com y no intervalo [-3, 0]. É claro então que, nesse segmento, o valor mínimo é dado por T(0, 0) = 2 e o valor máximo é dado por T(0, -3) = 11.

Ao longo do segmento L2 a função é dada por

com x no intervalo [0, 5]. Esboçando o gráfico dessa parábola, obtém-se que, nesse segmento, o valor mínimo é dado por T(3, 0) = -7 e o valor máximo é dado por T(0, 0) = 2.

Ao longo do segmento L3 a função é dada por

com y no intervalo [-3, 0]. Esboçando novamento o gráfico, obtém-se que o valor mínimo é dado por T(5,-2.5) = -9.25 e o valor máximo é dado por T(5, 0) = -3.

Finalmente, ao longo do segmento L4 a função é dada por

com x no intervalo [0, 5]. Esboçando novamente o gráfico, verifica-se que o valor mínimo é dado por T(4.5, -3) = -9.25 e o valor máximo é dado por T(0, -3) = 11.

Resumindo, sobre a fronteira, o valor mínimo é T(5, -2.5) = T(4.5, -3) = -9.25 e o valor máximo é T(0, -3) = 11.

Finalmente, comparando esses valores com o valor da função no ponto crítico interior, conclui-se que o mínimo absoluto é dado por T(P0) = -10 e o máximo absoluto é dado por T(0, -3) = 11.

Vale a pena comparar os resultados da análise acima com o gráfico da função, ilustrado a seguir.