Thomas 11ed , Capítulo 16 , Seção 16.4 , Exercício 10

Índice do Banco de Exercícios de Cálculo 3 -> O teorema de Green no plano

Enunciado

Exercício 10

Use o Teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F(x,y) e a cura

C: fronteira da região definida pelas desigualdades em coordenadas polares 1< r < 2, 0 < .

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Solução


A figura abaixo ilustra a região juntamente com o campo, e percebe-se que o campo apresenta um movimento de afastamente em relação ao eixo Oy.

[Maple

Considere primeiro o cálculo da circulação. Indique por R a região cuja fronteira é a curva C. Indique ainda por L(x,y) e M(x,y) as coordenadas do campo F. Com essa notação, a forma tangencial do teorema de Green afirma que a circulação pode ser calculada por meio da integral dupla

Calculando, obtém-se que

Diff(M(x,y),x)

Diff(L(x,y),y)

Usando coordenadas polares, segue-se que a circulação é igual a

Em relação ao fluxo, a forma normal do teorema de Green afirma que o fluxo exterior pode ser calculado por meio da integral dupla

Calculando, obtém-se que

Diff(L(x,y),x)

Diff(M(x,y),y)

Daí segue-se que o fluxo exterior é igual a

 


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Pablo Santiago

Publicado em: 09/08/2008
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