a) Observe que, completanto quadrados (duas vezes!), a função f pode ser escrita na forma

Como , segue-se que a função tem um mínimo absoluto ao longo do segmento de reta , e que esse valor mínimo é 3/4.

b) Para o máximo absoluto de f no quadrado, o primeiro passo é determinar os pontos críticos interiores, isto é, os pontos (x, y) do domínio aberto (0, 1)x(0, 1) que são soluções do sitema

Calculando, obtém-se que as derivadas parciais da função são iguais a

Assim, os únicos pontos críticos interiores são aqueles que estão sobre a reta . Mas, segundo o item anterior, esses são os pontos em que a função assume o valor mínimo. Segue-se então que o valor máximo absoluto está necessariamente sobre a fronteira do domínio.

Para analisar o comportamento da função sobre a fronteira, vale usar a notação da figura abaixo, em que a fronteira é a união dos quatro segmentos L1, L2, L3 e L4.

Ao longo do segmento L1 a função é dada por , com y no intervalo [0, 1]. É claro então que, nesse segmento, o valor máximo é dado por f(0, 0) = f(0, 1) = 1.

Ao longo do segmento L2 a função é dada por , com x no intervalo [0, 1]. Novamente, nesse segmento, o valor máximo é dado por f(0, 0) = f(1, 0) = 1.

Ao longo do segmento L3 a função é dada por , com y no intervalo [0, 1]. Nesse caso, é claro que o valor máximo é dado por f(1, 1) = 3.

Finalmente, ao longo do segmento L4 a função é dada por , com x no intervalo [0, 1]. Novamente, é claro nesse caso que o valor máximo é dado por f(1, 1) = 3.

Resumindo, sobre a fronteira, o valor máximo é f(1, 1) = 3. Além disso, como foi visto acima, esse é também o valor máximo absoluto da função no quadrado [0, 1]x[0, 1].

Vale a pena comparar os resultados da análise acima com o gráfico da função, ilustrado a seguir juntamente com a reta (em vermelho).