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\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 3 - Topologia Geral.} 
\end{center}
\vspace*{0.6cm}
%%%%

\noindent
1- Mostre que se $Y$ é um subespaço topológico de $X$ e $A$ é um subconjunto 
$Y$, então a topologia induzida em $A$ como subespaço de $Y$ e a mesma topologia 
que é induzida como subespaço de $X$.
\\






\noindent
2- Sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ topologias em $X$ com 
$\mathcal{T}'$ estritamente mais fina que $\mathcal{T}$.
O que pode ser dito sobre as topologias induzidas em um subconjunto
$Y\subset X$ por $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ ?
\\






\noindent
3- Considere o conjunto $Y=[-1,1]$ como subespaço de $\mathbb{R}$. Quais 
dos seguintes conjuntos são abertos em $Y$ ? Quais são abertos em $\mathbb{R}$ ?
\begin{itemize}
	\item[i)]   $\left\{  x\in\mathbb{R}: \frac{1}{2}<|x|<1  \right\}$
	\item[ii)]  $\left\{  x\in\mathbb{R}: \frac{1}{2}<|x|\leq 1 \right\}$
	\item[iii)] $\left\{  x\in\mathbb{R}: \frac{1}{2}\leq |x|< 1 \right\}$
	\item[iv)]  $\left\{  x\in\mathbb{R}: \frac{1}{2}\leq |x|\leq 1 \right\}$
	\item[v)]   $\left\{  x\in\mathbb{R}: 0<|x|< 1\ \text{e}\ 1/n \notin \mathbb{Z}_{+}  \right\}$
\end{itemize}







\noindent
4- Uma aplicação $f:X\to Y$ é chamada de {\bf aplicação aberta}
se para todo aberto $U$ de $X$ o conjunto $f(U)$ é um aberto em Y.
Mostre que as projeções $\pi_1:X\times Y\to X$ e $\pi_2:X\times Y\to Y$
são aplicações abertas.  
\\





\noindent 
5- Mostre que a coleção enumerável 
	\[ 
		\{(a,b)\times (c,d)\subset \mathbb{R}^2: a<b,\ \ c<d,\ \  \text{e} \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{Q}\}
	\]
	é uma base para $\mathbb{R}^2$.
\\




\noindent 
6- Seja $X$ um conjunto ordenado. Se $Y$ é um subconjunto próprio de $X$
que é convexo em $X$ podemos afirmar que $Y$ é um intervalo ou segmento em $X$ ?
\\




\noindent 
7- Se $L$ é uma reta arbitrária em $\mathbb{R}^2$, descreva 
a topologia induzida em $L$ como um subespaço de $\mathbb{R}_{\ell}\times \mathbb{R}$
e como subespaço de $\mathbb{R}_{\ell}\times\mathbb{R}_{\ell}$. 
\\






\noindent 
8- Considere $\mathbb{R}^2$ com a ordem lexicográfica e 
seja $\mathcal{T}$ a topologia da ordem em $\mathbb{R}^2$.
Mostre que $\mathcal{T}$ coincide com a topologia produto 
de $\mathbb{R}_d\times \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}_d$ 
denota a topologia discreta em $\mathbb{R}$. Compare
esta topologia com a topologia padrão de $\mathbb{R}^2$.
\\






\noindent 
9- Seja $I=[0,1]$. Compare a topologia produto de $I\times I$, 
com a topologia da ordem (considerando a ordem lexicográfica) 
e com a topologia induzida por $\mathbb{R}^2$ munido da topologia 
da ordem (considerando a ordem lexicográfica).
\\







 


\noindent 
10- Prove que o axioma da escolha é equivalente a seguinte afirmação:
Seja $\{X_i,\ i\in I\}$  uma família não vazia de conjuntos disjuntos 
não vazios. Então existe um conjunto 
$Y\subset \bigcup_{i\in I} X_i$ tal que $Y\cap X_i$ contém um único elemento
para cada $i\in I$.
\\







\noindent 
11- Dados $n$ conjuntos não vazios $X_1,\ldots,X_n$, podemos definir o produto 
cartesiano destes conjuntos por 
	\[
		X_1\times \ldots\times X_n 
		=
		\{ (x_1,\ldots,x_n): x_i\in X_i\ \ \text{para}\  \ i=1,\ldots,n\}
	\]
Usando a definição geral de produto cartesiano temos
	\[
		\prod_{i\in \{1,\ldots,n\}} X_i 
		= 
		\{ f:\{1,\ldots, n\}\to \mathbb{R}: f \ \ \text{é uma função}\}.
	\]
Encontre uma aplicação bijetiva entre $X_1\times \ldots\times X_n$ e $\prod_{i\in \{1,\ldots,n\}} X_i$.
\\





\noindent 
12- Seja $X$ um espaço topológico e seja $Y$ um subespaço de $X$. 
Mostre que:
\begin{itemize}
	\item[i)] Se $X$ tem topologia discreta, então a topologia induzida em $Y$ é a topologia 
				discreta.
			
	\item[ii)] Se $X$ tem a topologia trivial, então a topologia em $Y$ também é a trivial.
\end{itemize}

\end{document}
