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\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 5 - Topologia Geral.} 
\end{center}
\vspace*{0.6cm}
%%%%


\noindent
1- Prove que para funções reais $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que 
a definição por $\varepsilon-\delta$ implica na definição por abertos.
\\





\noindent 
2- Suponha que $f:X\to Y$ é contínua. Se $x$ é um ponto de acumulação 
do subconjunto $A\subset X$ é necessariamente verdadeiro que $f(x)$ é um
ponto de acumulação de $f(A)$ ?
\\




\noindent
3- Sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ duas topologias em $X$.
Denote estes espaços por $X$ e $X'$, respectivamente.
Seja $i:X\to X'$ a função identidade.
	\begin{itemize}
		\item[a)] Mostre que $i$ é contínua se, e somente se, 
					$\mathcal{T}'$ é mais fina que $\mathcal{T}$.
		\item[b)] Mostre que $i$ é um homeomorfismo se, e somente se,
					$\mathcal{T}'=\mathcal{T}$.
	\end{itemize}





\noindent
4- Dados $x_0\in X$ e $y_0\in Y$, mostre que as aplicações $f:X\to X\times Y$ e 
$g:Y\to X\times Y$ definidas por $f(x)=x\times y_0$ e $g(y)=x_0\times y$ são imersões.
\\






\noindent 
5- Mostre que o subespaço $(a,b)\subset \mathbb{R}$ é homeomorfo a $(0,1)\subset \mathbb{R}$ e
também que $[a,b]\subset \mathbb{R}$ é homeomorfo a $[0,1]\subset \mathbb{R}$.
\\




\noindent
6- Encontre uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que é contínua em exatamente um ponto.
\\






\noindent
7- Suponha que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é contínua a direita, isto é, 
	\[
		\lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)
	\]
	para todo $a\in\mathbb{R}$. Mostre que $f$ é uma função contínua, quando
	vista como função de $\mathbb{R}_{\ell}$ para $\mathbb{R}$.
\\	
	
	
	
	
	
\noindent 
8- Você poderia conjecturar quais funções $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ são 
contínuas quando consideradas como funções de $\mathbb{R}$ para $\mathbb{R}_{\ell}$ ?
Como aplicações de $\mathbb{R}_{\ell}$ para $\mathbb{R}_{\ell}$ ?\\
(Esta questão será abordada novamente em listas futuras).
\\
	
	




\noindent
9- Seja $Y$ um conjunto ordenado e considere a topologia da ordem em $Y$.
Sejam $f,g:X\to Y$ funções contínuas.
\begin{itemize}
	\item[i)] Mostre que o conjunto $\{x\in X: f(x)\leq g(x)\}$ é fechado em $X$.
	\item[ii)] Seja $h:X\to Y$ uma função dada por $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$. Mostre que $h$ é contínua.
				\\(Dica: use o lema da ``colagem''.) 
\end{itemize}




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\break
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
10- Seja $\{A_{\alpha}\}$ uma coleção de subconjuntos de $X$ e suponha que 
$X=\cup_{\alpha}A_{\alpha}$. Seja $f:X\to Y$ uma função tal que $f|_{A_{\alpha}}$
seja contínua para cada $\alpha$.
\begin{itemize}
	\item[i)] Mostre que se a coleção $\{A_{\alpha}\}$ é finita e cada conjunto $A_{\alpha}$
				é fechado, então $f$ é contínua.
	
	\item[ii)] Encontre exemplo de uma coleção enumerável $\{A_{\alpha}\}$, onde cada $A_{\alpha}$
				é fechado, mas $f$ não é contínua.
				
	\item[iii)]	Uma família de conjuntos $\{A_{\alpha}\}$ é dita ser {\bf localmente finita}
				se cada ponto $x\in X$ tem uma vizinhança $U$ que intercepta no máximo uma quantidade 
				finita de conjuntos $A_{\alpha}$'s. Mostre que se a família $\{A_{\alpha}\}$ é localmente
				finita e cada $A_{\alpha}$ é fechado, então $f$ é contínua.  
\end{itemize}







\noindent
11- Sejam $f:A\to B$ e $g:C\to D$ funções contínuas. Defina a aplicação 
	$f\times g: A\times C\to B\times D$ por 
	\[
		 (f\times g)(a,c)= f(a)\times g(c). 
	\]
	Mostre que $f\times g$ é contínua.
\\






\noindent
12- Seja $F:X\times Y\to Z$ uma função. 
Dizemos que $F$ é {\bf contínua em cada variável separadamente},
se para cada $y_0\in Y$ fixado a aplicação 
$h:X\to Z$ dada por $h(x)=F(x\times y_0)$
é contínua e também para cada $x_0$ em $X$ a aplicação $k:Y\to Z$ 
definida por $k(y)=F(x_0\times y)$ é contínua. 
Mostre que se $F$ é contínua, então $F$ é  contínua em cada variável separadamente.
\\







\noindent 
13- Seja $F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por 
	\[
		F(x,y)
		=
		\begin{cases}
			\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}, 	&\text{se}\ x\times y\neq 0\times 0;		
		\\
			0, 									&\text{caso contrário}.
		\end{cases}	
	\]
	\begin{itemize}
		\item[i)] 	Mostre que $F$ é contínua em cada variável separadamente;
		\item[ii)] 	Obtenha a expressão explícita da função $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 
					dada por $g(x)=F(x\times x)$.
		\item[iii)] Mostre que $F$ não é contínua.
	\end{itemize}









\noindent
14- Sejam $A\subset X$ e $f:A\to Y$ uma aplicação contínua e suponha que $Y$ é um espaço 
de Hausdorff. Mostre que se $f$ pode ser estendida a uma função contínua 
$g:\overline{A}\to Y$, então $g$ é unicamente determinada por $f$.
\\








\noindent 
15- Seja $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos. 
Prove que se a topologia de $X_{\alpha}$ é dada por uma base $\mathcal{B}_{\alpha}$
então a coleção de todos os conjuntos da forma 
	\[	
		\prod_{\alpha\in J} B_{\alpha},
	\] 
onde $B_{\alpha}\in \mathcal{B}_{\alpha}$ para todo $\alpha\in J$, é uma base para 
a topologia ``box'' em $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$.  
\\









\noindent 
16- Seja $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos. 
Prove que se a topologia de $X_{\alpha}$ é dada por uma base $\mathcal{B}_{\alpha}$
então a coleção de todos os conjuntos da forma 
	\[	
		\prod_{\alpha\in J} B_{\alpha},
	\] 
onde $B_{\alpha}\in \mathcal{B}_{\alpha}$ e $B_{\alpha}=X_{\alpha}$ a menos de um conjunto 
finito de índices, é uma base para 
a topologia produto em $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$.
\\









\noindent 
17- Sejam $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos
e $A_{\alpha}$ subespaço de $X_{\alpha}$ para cada $\alpha\in J$. 
Prove que $\prod_{\alpha} A_{\alpha}$ é um subespaço de $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$
se em ambos produtos cartesianos consideramos a topologia ``box''. Prove que 
o resultado também é verdadeiro se em ambos produtos consideramos a topologia 
produto.
\\







\noindent 
18- Sejam $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços de Hausdorff.
Prove que $\prod_{\alpha} X_{\alpha}$ também é um espaço de Hausdorff 
em ambas topologias ``box'' e produto. A recíproca é verdadeira para as duas topologias 
no espaço produto ?
\\









\noindent
19- Mostre que $(X_1\times\ldots\times X_{n-1})\times X_{n}$ 
é homeomorfo a $X_1\times\ldots\times X_n$.
\\










\noindent
20- Qual das implicações do Teorema 19.6 do livro é válida também para 
a topologia ``box'' ?
\\








\noindent
21- Seja $x^1,x^2,\ldots $ uma sequência de pontos em $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$.
Mostre que se esta sequência converge para um ponto $x\in \prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$ 
se, e somente se, a sequência $\pi_{\alpha}(x^1),\pi_{\alpha}(x^2),\ldots$
converge para $\pi_{\alpha}(x)$ para cada $\alpha\in J$.
Este fato contínua sendo verdadeiro se consideramos a topologia ``box'' em $\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$ ?
\\








\noindent 
22- Seja $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
dado por 
	\[
		\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0} 
		= 
		\{	
			(x_1,x_2,\ldots)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}:
			 x_i\neq 0\ \text{para no máximo uma quantidade finita de índices}\ i   
		\}
	\]
Qual é o fecho de  $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}_{0}$ na topologia produto e na topologia ``box'' ?
\\








\noindent
23- Sejam $(a_1,a_2,\ldots)$ e $(b_1,b_2,\ldots)$ elementos de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ com
	$a_i>0$ para todo $i\in\mathbb{N}$. Considere a aplicação 
	$h:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ dada por 
	\[ 
		h\big((x_1,x_2,\ldots)\big)=(a_1x_1+b_1,\ a_2x_2+b_2,\ldots)
	\]
	Mostre que se consideramos $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ munido da topologia produto
	então $h$ é um homeomorfismo. Podemos dizer o mesmo se munimos $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
	da topologia ``box'' ?
\\









\noindent
24- Mostre que o axioma da escolha é equivalente a seguinte afirmação: dada uma  
	família de conjuntos não vazios $X_{\alpha}$ com $\alpha\in J$, então o produto cartesiano
	$\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}\neq \emptyset$.
\\






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\noindent
25- Sejam $A$ um conjunto, $\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de espaços topológicos
e $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ uma família de funções $f_{\alpha}:A\to X_{\alpha}$.
\begin{itemize}
		
		\item[i)] 	Mostre que existe uma única topologia mais grossa $\mathcal{T}$ em $A$
					na qual todas as funções $f_{\alpha}$ são contínuas.

		\item[ii)] 	Para cada $\beta\in J$ seja 
					$S_{\beta}=\{f^{-1}_{\beta}(U_{\beta}): U_{\beta}\ \text{é um aberto em}\ X_{\beta} \}$.
					Mostre que a coleção $S=\cup_{\alpha\in J} S_{\alpha}$ é uma subbase para $\mathcal{T}$.

		\item[ii)]	Mostre que uma aplicação $g:Y\to A$ é contínua relativamente a $\mathcal{T}$ se, 
					e somente se, cada aplicação $f_{\alpha}\circ g$ é contínua.


		\item[iv)]	Seja $f:A\to \prod_{\alpha\in J}X_{\alpha}$ uma função dada por 
					$f(a)=(f_{\alpha}(a))_{\alpha\in J}$. 
					Denote por $Z$ o subespaço $f(A)$ do produto cartesiano 
					$\prod_{\alpha\in J} X_{\alpha}$. Mostre que a imagem direta 
					por $f$ de cada elemento de $\mathcal{T}$ é um aberto de $Z$.

\end{itemize}



	
\end{document}
