\documentclass[12pt]{report}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,color,mathrsfs,graphicx}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DIAGRAMAS
\usepackage{amscd}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix,arrows,decorations.pathmorphing}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%% Ajuste de Página
\setlength{\hoffset}{-2cm}
\setlength{\voffset}{-2cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\textwidth}{17.5cm}
%%%
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\newcommand{\sen}{\text{sen}\,}
\begin{document} 


%%% Cabeçalho
\vspace*{-1.6cm}
\begin{center}
\textbf{{\Large Universidade de Brasília}\\ Departamento de Matemática \\
Lista 8 - Topologia Geral.} 
\end{center}
%%%%



\noindent
1- Mostre que nenhum dos seguintes espaços são homeomorfos um ao outro: 
$(0,1), (0,1]$ e $[0,1]$.
(dica: o que acontece quando removemos alguns pontos destes espaços ?)
\\









\noindent
2- Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ imersões. 
Mostre que, sem hipóteses adicionais, não é possível 
concluir que $X$ é homeomorfo a $Y$.
\\













\noindent
3- Mostre que $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}$ não são homeomorfos se $n>1$.
\\













\noindent
4- Seja $f:S^1\to\mathbb{R}$ uma aplicação contínua. 
Mostre que existe pelo menos um ponto $x\in S^1$ tal que 
$f(x)=f(-x)$.
\\














\noindent
5- Mostre que toda aplicação contínua $f:[0,1]\to [0,1]$ possui pelo menos um ponto fixo.
O que pode ser dito se substituímos $[0,1]$ por $[0,1)$ ou $(0,1)$ ?
\\











\noindent
6- Seja $X$ um espaço ordenado com a topologia da ordem. 
Mostre que se $X$ é conexo então $X$ é um {\it continuum linear}.
\\












\noindent 
7- Mostre que se $X$ é um conjunto bem-ordenado, 
então $X\times [0,1)$ na ordem do dicionário é um 
{\it continuum linear}.
\\











\noindent
8- Sejam $X$ e $Y$ conjuntos ordenados munidos da topologia da ordem.
Mostre que se $f:X\to Y$ é uma função sobrejetiva que preserva ordem,
então $f$ é um homeomorfismo.
\\











\noindent
9- Seja $f:\overline{\mathbb{R}_{+}}\to \overline{\mathbb{R}_{+}}$
dada por $f(x)=x^n$, onde $n\in\mathbb{Z}_{+}$. 
Mostre que $f$ é sobrejetiva e que preserva ordem. Conclua que 
sua função inversa, i.e., a raíz $n$-ésima é uma função contínua.
\\










\noindent
10- O produto cartesiano de dois espaços conexos por caminho é conexo por caminho ?
\\









\noindent 
11- Suponha que $A\subset X$ e que $A$ é conexo por caminho. 
É verdade que $\overline{A}$ é conexo por caminho ?
\\









\noindent
12- Se $f:X\to Y$ é contínua e $X$ é conexo por caminho,
então podemos concluir que $f(X)$ é conexo por caminho ?
\\












\noindent
13- Se $\{A_{\alpha}\}$ é uma coleção de conjuntos conexos 
por caminho de um espaço $X$ e a interseção $\bigcap A_{\alpha}\neq \emptyset$,
então podemos afirmar que $\bigcup A_{\alpha}$ é necessariamente conexo por caminho ?
\\













\noindent 
14- Assuma que $\mathbb{R}$ é não enumerável. 
Mostre que se $A\subset \mathbb{R}^2$ é enumerável 
então $\mathbb{R}^2-A$ é conexo por caminho.
\\
(dica: olhe para a quantidade de retas que passam por um ponto de $\mathbb{R}^2$)
\\














\noindent 
15- Mostre que se $U$ é um subespaço conexo de $\mathbb{R}^2$,
então $U$ é conexo por caminho.
(dica: mostre que o conjunto de pontos que podem ser ligados por um caminho
a um ponto $x_0\in U$ fixado, é aberto e fechado em $U$.)






\break





\noindent
16- Se $A$ é um subespaço conexo de $X$, então $int(A)$ e $\partial A\equiv\overline{A}-int(A)$
são conexos ? É válida a recíproca ?
\\












\noindent
17- Sejam $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$ duas topologias em um conjunto $X$.
Suponha que $\mathcal{T}\subset \mathcal{T}'$. A compacidade de $X$ em uma
destas topologias implica em compacidade na outra ?
\\










\noindent 
18- Mostre que se $X$ é um espaço de Hausdorff compacto
com respeito as topologias $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$, 
então ou ambas topologias não são comparáveis ou são iguais.  
\\









\noindent 
19- Mostre que na topologia do complemento finito em $\mathbb{R}$
todo subespaço é compacto.
\\












\noindent
20- Se $\mathbb{R}$ tem a topologia consistindo de todos os conjuntos $A$ tais que 
$\mathbb{R}-A$ é enumerável ou todo $\mathbb{R}$ o conjunto $[0,1]$ é compacto ? 
\\







\noindent
21- Mostre que uma união finita de subespaços compactos de $X$ é compacto.
\\








\noindent
22- Mostre que todo subespaço compacto de um espaço métrico é limitado e fechado.
Encontre um espaço no qual nem todo limitado e fechado é compacto.
\\









\noindent
23- Sejam $A$ e $B$ dois compactos disjuntos de um espaço de Hausdorff $X$.
Mostre que existem dois abertos disjuntos $U$ e $V$ contendo $A$ e $B$, 
respectivamente.
\\









\noindent
24- Seja $X$ um espaço compacto e $Y$ Hausdorff. 
Mostre que se $f:X\to Y$ é contínua, então $f$ é uma aplicação 
fechada.
\\








\noindent
25- Mostre que se $Y$ é compacto, então a projeção $\pi_1:X\times Y \to X$
é uma aplicação fechada.
\\










\noindent
26- Demonstre o seguinte teorema. 
Seja $f:X\to Y$, onde $Y$ é um espaço de Hausdorff compacto.
Então $f$ é contínua se, e somente se, o gráfico de $f$ 
	\[
		G_f = \{(x,f(x))\in X\times Y: x\in X\}
	\]
é fechado em $X\times Y$.
\\
(dica: Se $G_f$ e $V$ é uma vizinhança de $f(x_0)$ então 
a interseção de $G_f$ e $X\times(Y-V)$ é fechado.
Aplique o Exercício 25.)

\end{document}





