Funções Zeta Clássicas e Modernas

Hemar Godinho, Cydara Ripoll e Marcus Soares

O propósito destas notas é evidenciar a importância do estudo das chamadas “Funçõeszeta” em Teoria dos Números. Esta teoria teve seu início com um teorema de Euler de 1737, provando que

∑_{primos} \frac{1}{p}

é uma série divergente. Este teorema vai além de simplesmente mostrar que existem infinitos primos, mas mostra que os números primos são “densos” no conjunto de todos os inteiros (mais “densos” que, por exemplo, os quadrados, pois a soma dos recíprocos dos quadrados é uma série convergente). Depois vieram trabalhos e observações de grandes matemáticos como Gauss, Legendre, Dirichlet, Riemann, Hadamard, de la Vallée Poussin, e muitos outros, que culminaram com a demonstração do teorema dos Números Primos. Hoje as funções-zeta estão amplamente difundidas em várias áreas, provando a cada instante a sua importância.

Estas notas começam com um estudo clássico das funções-zeta de Dirichlet e Riemann, focalizando principalmente em suas aplicações, mais especificamente, no estudo de primos em progressões aritméticas e o famoso Teorema dos Números Primos (Prime Number Theorem).

Este estudo inicial evidencia o quão importante é o entremesclar entre as diversas áreas de matemática, apontando para o papel fundamental das técnicas da análise nos estudos de conceitos básicos algébricos, como os números primos. A seguir passamos às novas técnicas p-ádicas (saindo do caso arquimediano), e como estas técnicas são utilizadas para avançar, aprofundar e generalizar os estudos das funções-zeta (estes estudos foram desenvolvidos por J. Tate em sua tese, e nosso enfoque será o caso dos racionais).

Não pretendemos esgotar todo o material sobre funções zeta, mas sim apresentar muitas das idéias envolvidas de maneira clara, explorando principalmente suas consequências.

Este material serviu como base para um mini-curso apresentado na XV Escola de Álgebra (1998), sediada em Canela, RS. Os autores gostariam de aproveitar esta oportunidade para agradecer à Comissão Organizadora da Escola, pelo convite para a apresentação deste mini-curso.