Introdução a Teoria das Medidas de Gibbs
2o semestre de 2012.

Por que estudar Teoria das Medidas de Gibbs (Mecânica Estatística) ?

A teoria das medidas de Gibbs é uma área de matemática que se iniciou no estudo rigoroso da Mecânica Estatística. Devido a complexidade dos objetos de interesse esta é uma área bastante multi-disciplinar, servindo como palco de encontro para estrelas como as Teorias de Probabilidade, Medida e Grafos, Análise Funcional e Combinatória. A teoria das Medidas de Gibbs constitue hoje em dia uma ferramenta fundamental para o estudo da Mecânica Estatística Rigorosa. Esta última é uma área jovem da matemática e (por alguns chamada de teoria moderna da probabilidade) que vem recebendo atenção e bastante reconhecimento na última década (clique aqui para mais detalhes).
O curso de Introdução a Teoria das Medidas de Gibbs será ofertado pelo programa de pós-graduação de Matemática da UnB no segundo semestre de 2012 pela primeira vez e será baseado no conteúdo do curso oferecido por mim e por Rodrigo Bissacot no curso de verão do IME-USP deste mesmo ano. O curso terá carater introdutório, mas abordará também temas atuais de pesquisa. Vamos começar com uma revisão rápida de teoria da medida e alguns conceitos de topologia. Em seguida, apresentaremos uma motivação para introduzir as medidas de Gibbs, isto será inicialmente feito em espaços finitos. Depois mostraremos a existência do Limite Termodinâmico para o modelo de Ising em d dimensões. Após um passeio breve pela probabilidade e esperança condicional apresetamos um dos conceitos centrais da teoria que é o de especificações Gibbsianas. Daremos uma segunda definição de medida de Gibbs usando este novo conceito e vamos explorar por um bom tempo as propriedades topológicas do conjunto das medidas especificadas por uma especificação Gibbsiana. Provaremos o critério de unicidade de Dobrushin, o argumento de Pieirls e veremos também um pouco da teoria de Pirogov-Sinai. Sistemas unidimensionais e o operador de Ruelle e suas propriedades serão estudados. Nesta parte mostraremos alguns teoremas sobre as propriedades Ergódicas das medidas de Gibbs.
As fotos mostradas abaixo registraram alguns momentos do nosso curso de verão. Entre os participantes encontram-se três alunos atualmente do programa de Pós-Graduação do MAT-UnB, Marcelo Bezerra, Simone Vasconcelos e Roberto Vila Gabriel. Já que o curso aqui na UnB deve seguir os moldes do curso dado na USP, diferindo da inclusão de novos tópicos, recomendo aos interessados um "bate-papo" com os estudantes citados acima. Assim vocês poderão ter uma ideia da abordagem, do aproveitamento obtidos no curso, eventuais dificuldades enfrentadas por eles e pedir informações adicionais.

A quem este curso é destinado ?

A todos os alunos regularmente matriculados na Universidade de Brasília em especial aos alunos de Pós-graduação e final de graduação em Matemática e Física.

Pré-requisitos.

Oficialmente não há pré-requisitos. Mas é desejável que o estudante tenha familiaridade com análise real e algum conhecimento de teoria da medida e ou teoria de probabilidade .

Ementa da disciplina e carga horária.

Clique aqui para ver o arquivo PDF com a ementa da disciplina e calendário de atividades. As aulas serão as terças e quintas de 16:00 às 18:00h.

Referências Bibliográficas.

Nos links abaixo você encontra em formato PDF diversas referências que serão úteis durante o curso. Todas estas referências e uma lista mais extensa de material, relacionados ao curso, estão relacionados neste link .

  1. R. Bissacot e L. Cioletti: Introdução a Teoria das Medidas de Gibbs . Notas de aula, (2012).
  2. H.-O. Georgii: Gibbs Measures and Phase Transitions(Second Edition). De Gruyter Studies in Mathematics; 9. Walter de Gruyter & Co; 2011.
  3. Anton Bovier: Lectures notes: Gibbs measures and phase transitions - Part 1.
  4. Anton Bovier: Lectures notes: Gibbs measures and phase transitions - Part 2.
  5. A. Le Ny: Introduction to (generalized) Gibbs Measures. Ensáios Matemáticos. Vol. 15, 1-126. SBM, (2008).
  6. G. Braga e F. Fontenele: Caracterização da Fase Desordenada do Modelo de Ising d-dimensional via Desigualdades de Correlações . Matemática Universitária, 9-37, (2002).
  7. G. Braga e F. Fontenele: O Limite Termodinâmico e Independência das Condições de Contorno para o Modelo de Ising d-Dimensional . Matemática Universitária, 101-125, (2001).
  8. P. Cupertino : O Teorema de Lee-Yang . (2004).
  9. G. Braga e M. R. Hilário: O Teorema de Perron-Frobenius e Ausência de Transição de Fase em Modelos Unidimensionais da Mecânica Estatística . (2004).
  10. Onno van Gaans: Probability measures on metric spaces . Lectures Notes, (2003).
  11. R. Bissacot: Técnicas para convergência da expansão do gás de polímero e uma aplicação ao método probabilístico . Tese de Doutorado, (2009).
  12. O. Sarig: Lecture Notes on Thermodynamic Formalism for Topological Markov Shifts . (2009).

  13. Referências Complementares.


Fotos do curso de verão IME-USP 2012.



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